Tanpa kita sadari, setiap hal yang terjadi dan bekerja di sekitar kita setiap harinya memuat hal yang kita percayai dan ternyata hal itu dapat diukur dengan probabilitas. Semisal beberapa orang percaya bahwa micin membuat seseorang menjadi bodoh, atau keseringan begadang dapat mengakibatkan kesehatan menjadi menurun, atau bisa ga sih matahari muncul dari timur dan lainnya. Kita bisa bertanya, memangnya berapa sih probabilitas seseorang menjadi bodoh apabila sering mengonsumsi micin? Jika seseorang sering begadang, berapa sih probabilitasnya kesehatannya jadi menurun? Berapa probabilitas matahari akan muncul dari timur? Tentunya, kepercayaan kita bisa saja berubah menjadi lebih tinggi atau lebih rendah seiring dengan informasi baru yang kita terima.
Bayes’ Theorem (Teorema Bayes) adalah salah satu teorema probabilitas yang dapat kita gunakan untuk menjawab berbagai pertanyaan yang didefinisikan di atas. Pada bidang Data Science, Bayes’ Teorem sering sekali digunakan untuk memperbaharui tingkat keyakinan dari suatu hipotesis seiring dengan kejadian baru yang muncul. Nah, sebelum kita terjun ke Teorema Bayes, kita perlu mengenal salah satu konsep probabilitas terlebih dahulu, yaitu Probabilitas Kondisional.
Probabilitas Kondisional
Sebagai contoh, jika kita sedang melakukan penelitian pada sebuah sampel dari suatu populasi di dalam kampus, kemudian kita pilih secara acak satu kelas yang berisi mahasiswa dengan notasi berikut: Ω = {mahasiswa dalam satu kelas}. Dari kelas ini, kita ingin mengetahui berapa proporsi jumlah mahasiswa yang menyukai permainan basket. Apa yang perlu kita lakukan untuk mengetahuinya?
Sekarang jika kita ingin mengetahui proporsi laki-laki yang menyukai permainan basket di kelas. Apa yang perlu kita lakukan untuk mengetahuinya?
Mudah bukan? Secara tidak sadar, dari 2 rangkaian pertanyaan diatas, kita telah :
- Memperkecil ruang sampel dari yang tadinya semua mahasiswa di satu kelas menjadi hanya laki-laki di kelas.
- Melakukan pengkondisian dari suatu kejadian (dalam hal ini, kita mengkondisikan hanya laki-laki).
Inilah Probabilitas Kondisional yang bisa ditulis dengan persamaan berikut:
Jika → A = laki-laki dan B = menyukai permainan basket, maka kita bisa substitusi persamaan diatas dengan:
Inilah yang mendasari rumus Probabilitas Kondisional yang kita kenal yaitu:
Pikirkan probabilitas kondisional sebagai cara untuk merubah ruang sampel seperti yang kita lakukan dengan mengubah sampel seluruh mahasiswa di dalam kelas menjadi mahasiswa laki-laki di dalam kelas.
Teorema Bayes
Setelah kita mengetahui Probabilitas Kondisional, kita dapat mempelajari mengenai Teorema Bayes. Teorema Bayes membantu kita untuk dapat mengubah tingkat kepercayaan yang kita miliki ketika ada informasi/bukti yang baru.
Sebagai contoh yang sangat sederhana, Andi merupakan seorang anak kecil yang baru pertama kali melihat matahari terbenam. Ia kemudian bertanya-tanya, apakah matahari itu akan terbit lagi atau tidak? Untuk mengetahuinya, ia memberikan nilai probabilitas yang seimbang yaitu 1:1 untuk terbit atau tidak terbit (biasa dikenal dengan prior probability atau probabilitas sebelum terdapat bukti baru). Andi pun merepresentasikan probabilitas 1:1 tersebut dengan menaruh satu kelereng putih (terbit) dan satu kelereng hitam (tidak terbit) ke satu botol kosong. Keesokan harinya, Andi mendapati bahwa matahari terbit lagi sehingga ia menaruh satu kelereng putih ke dalam botol tersebut. Melalui hal ini, kita sekarang mengetahui bahwa probabilitas untuk mendapatkan kelereng putih berubah dari 0.5 menjadi 0.66 (dikenal dengan posterior probability atau probabilitas setelah mendapatkan bukti baru). Setiap harinya Andi mendapatkan bahwa matahari selalu terbit dan menaruh kelereng putih terus menerus dari 2:1 menjadi 3:1, 4:1, 5:1, dan seterusnya. Secara bertahap, keyakinan awal bahwa matahari kemungkinan besar tidak akan terbit berubah menjadi hampir pasti bahwa matahari akan selalu terbit.
Teorema Bayes dapat dirumuskan secara sederhana dengan persamaan berikut:
Dimana:
P(B | A) → Probabilitas kejadian B diberikan (bila) kejadian A (Posterior Probability)
P(A | B) → Probabilitas kejadian A diberikan (bila) kejadian B (Likelihood)
P(B) → Probabilitas kejadian B (Prior Probability)
P(A) → Probabilitas kejadian A (Marginal Likelihood)
—
Persamaan di atas didapatkan dari Probabilitas Kondisional, sebagai berikut:
Sebagai contoh: Lukas memiliki seorang adik yang bernama Maria. Maria bercerita kepada Lukas bahwa ia memiliki seorang teman yang terkena penyakit infeksi kandung kemih. Dari sini, Lukas penasaran dan ingin menebak-nebak jenis kelamin teman adiknya. Lukas pun mendapatkan data statistik mengenai probabilitas laki-laki terkena penyakit infeksi kandung kemih, yaitu 3%. Sedangkan, untuk keseluruhan populasi dunia, probabilitas terkena penyakit infeksi kandung kemih yaitu hanya 0.7%. Kemudian, probabilitas seseorang adalah laki-laki yaitu 50%.
Maka, menggunakan rumus Teorema Bayes, kita dapat menghitung probabilitas teman Maria adalah laki-laki diberikan ia terkena penyakit infeksi kandung kemih sebagai berikut:
Dari data statistik yang dikumpulkan oleh Lukas, ia mendapatkan 21.43% probabilitas bahwa teman Maria kemungkinan adalah laki-laki.
—
Pada Teorema Bayes, ada satu kondisi apabila B₁, B₂, B₃, …. , Bₙ membentuk partisi (mutually exclusive) dari sebuah himpunan semesta. Gambar berikut menjelaskan pernyataan di atas.
Maka, jika kita ingin mengetahui P(A), kita bisa dapatkan dengan:
Dan jika kita ingin mengetahui salah satu bagian dari partisi B, kita bisa dapatkan dengan:
Terdapat satu kondisi lagi apabila pada suatu kejadian B, dimana kejadian B dan bukan B membentuk sebuah partisi dari sebuah himpunan semesta. Maka:
Sebagai contoh: Rumah Sakit Abadi sedang melakukan tes untuk mendeteksi suatu penyakit yang dimiliki 0,1% dari populasi. Tes ini 95% efektif dalam mendeteksi orang yang terinfeksi. Namun, tes tersebut memberikan hasil false positive dalam 1% kasus. Jika seseorang dites positif mengidap penyakit, berapa probabilitas mereka benar-benar mengidapnya?
Dari pertanyaan berikut, diketahui:
Untuk menjawab pertanyaan, kita rumuskan:
Namun kita belum mendapatkan nilai P(positif), sehingga kita gunakan juga probabilitas partisi untuk mencari nilai tersebut pada penyebut:
Setelah dikalkulasi, hasilnya sebagai berikut:
Dari hasil tersebut, kita mendapatkan probabilitas seseorang benar-benar mengidap penyakit jika dites positif adalah 0.94%, yang artinya sangat kecil kemungkinannya.
Jadi itulah Teorema Bayes. Pengaplikasian teorema ini sangatlah luas mulai dari bidang medis, bisnis, pendidikan, bahkan soal dating :D. Yuk kita coba analisis hal-hal yang ada di sekitar kita lalu coba aplikasikan dengan Teorema Bayes, lalu bagikan hasil analisisnya di komentar yaa! Semoga bermanfaat bagi teman-teman!
Note: Jika terdapat kesalahan penulisan, penjelasan, rumus atau hal lainnya, mohon bantuannya untuk mengkritik dan memberi saran supaya tulisan ini menjadi lebih baik dan bermanfaat bagi teman-teman yang butuh, terima kasih!
